ちょっと難しいかも…Abraham, Marsden & RatiuのManifold, Tensor, Analysis, and Applicationsとかどうだろう？

トゥー多様体とか…

あとは§3.2の結果を使えば、原点の周りでdx/dt=α±x²とlocally topologically equivalentと言える！

難しくはないけどいろいろ変数が出てきて展開したり変換したりするので結構ややこしい…

証明では、dx/dt=f(x,α)の右辺をx=0のまわりでTaylor展開し、変数変換してdη/dt=β±η²+O(η³)の形にできることを示す。
ステップ1: x=ξ+δの形の分解を考えて代入し、Taylor展開の1次の項の係数が消えるようにδ=δ(α)を決めてあげる。このとき陰関数定理を使っていて、前述の条件(a)が出てくる
ステップ2: Taylor展開の0次の項をμ=μ(α)とおく。このとき条件(b)が成り立てば逆関数定理を使って局所的にα=α(μ)とかける。これを使ってTaylor展開の2次の項もμの関数としてかける
ステップ3: スケール変換をすれば欲しい形が出てくる

ただし条件が２つつく:
(a) ∂²f/∂x²(0,0)≠0
(b) ∂f/∂α≠0
それぞれ証明の中で、陰関数定理とか逆関数定理とかを使うときに出てくる…

§3.3でさらに一般の1パラメタ、一次元のdx/dt=f(x, α)でも、平衡点(x, α)=(0,0)でヤコビアンの固有値λ=∂f/∂x(0,0)=0なら、原点の周りでfold分岐のnormal form dx/dt=α+x²と locally topologically equivalentなことが示される！すっきり！

これを示すには「パラメータ間のhomeomorphism」と、「パラメータαに依存した軌道間のhomeomorphism h_α」があることを示す必要がある。今の場合はパラメータ間は恒等写像としてる。このとき①と②で、αごとの平衡点の個数・安定性は同じことが確認できるα>0なら平衡点はなく、α=0ならx=0,y=0が平衡点になるので、h_αは恒等写像でよくて、α<0なら２つの平衡点が一致するような線型写像を考えればよい。こうしてh_αが構成できるのでlocally topologically equivalentだとわかる

これがどう標準形になってるか。具体例(?)として、①dx/dt=α+x^2と、②dy/dt=α+y^2+O(y^3)が原点近くで locally topologically equivalentなことが示されてる。

§3.2ではfold bifurcationの標準形dx/dt=f(x,α)=α+x^2について。位相ポートレートを描けば、パラメタα<0のときhyperbolicな平衡点x=±√(-α)があり、α=0のときはx=0にnonhyperbolicな平衡点があり、α>0のときは平衡点がなくなることがわかる

以降§3.2と3.3ではfold bifurcation、§3.4と3.5ではHopf bifurcation

パラメータを変えてhyperbolicでなくなるのにどんな状況があるかというと、①λ=0の固有値が出現（fold bifurcation）、②λ=±iωの固有値の組が出現（Hopf bifurcation）

n次元だとどうかというと、必要十分条件は知られてないらしい。十分条件はわかっててMorse-Smale条件というのがあるけど、これを満たさなくても構造安定な力学系もあるとか。気になる

最後に、2次元の力学系での構造安定性の必要十分条件(Andronov-Pontryaginの条件)が出てくる。①領域内の平衡点・リミットサイクルの個数が有限で全てhyperbolicであり、②同じsaddleに戻ったり２つのsaddlesをつないだりするようなsaddle separatricsがないこと。この話面白そうなのでもっと詳しい本読みたい