Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B })は写像にはならない

F(b):={ (a,(a,b)) | a∈A }∈MapClass
F:={ (b,{ (a,(a,b)) | a∈A }) | b∈B }∈Map(B,MapClass)
Union({ Ran(f) | f∈Ran(F) })={ (a,b) | a∈A ∧ b∈B }
Union({ Ran(f) | f∈Ran(F) })=Union({ Ran(F(b)) | b∈B })

x∈On
Univ(x):=Intersect({ S | x∈S
∧ ∀u(u∈S ⇒ Pow(u),Union(u)∈S)
∧ ∀u∀v(u,v∈S ⇒ (u,v),{u,v}∈S)
∧ ∀u∀v(v∈u∈S ⇒ v∈S)
∧ ∀f((f∈MapClass ∧ Dom(f)∈S ∧ Ran(f)⊂S) ⇒ Ran(f)∈S) })

Prod(A,B):=Ran(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))
∀A∀B(A,B∈Univ(x) ⇒ Prod(A,B)∈Univ(x))

∀A∀B(∀b(b∈B ⇒ { (a,(a,b)) | a∈A }∈MapClass))
∀A∀B({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }⊂MapClass)
∀A∀B(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B })∈MapClass)
Prod(A,B):=Ran(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))
Dom(Union({ { (a,(a,b)) | a∈A } | b∈B }))=A
∀A∀B(A,B∈Univ ⇒ Prod(A,B)∈Univ)

Mat((m,n),R):= { (A|Seg(m)×Seg(n)) | A∈Mat(R) }
R成分の(m,n)行列全体

Seg(m):={ k | k∈Nat ∧ k<m }

E:=Cup({ ((i,i),1) | i∈Nat },{ ((i,j),0) | i,j∈Nat ∧ i≠j })
(Mat(R),+,O,×,E)は行列環

Zを整数全体として
NatをZに変えてもいけそう

x∈R, i,j∈Nat
emb((i,j),x):=Cup({ ((i,j),x) },{ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat＼{(i,j)} })
emb((i,j),x)∈Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R)
A∈Mat(R) ⇒ A=Σ{ ((i,j),emb((i,j),A(i,j))) | (i,j)∈Nat×Nat }　・・・①
emb((i,j),x)×emb((j,k),y):=emb((i,k),x×y)　･･･②
j≠k ⇒ emb((i,j),x)×emb((k,l),y):=O　･･･③
①②③で行列の乗法が定義

R[G]⊂R
R[G]=Map*(G,R)⊂Map(G,R)
どっちの視点に立つか
後者の方が一般性がありそう

φ,ψ∈Map(G,R), σ∈G
(φ+ψ)(σ):=φ(σ)+ψ(σ)

(φ×ψ)(σ):=?

x∈R
emb(σ,x):=Cup({ (σ,x) },{ (ρ,0) | ρ∈G＼{σ} })∈Map(G,R)
φ∈Map*(G,R) ⇒ φ:=Σ{ (σ,emb(σ,φ(σ))) | σ∈G }

emb(σ,x)×emb(ρ,y):=emb(σ*ρ,x×y)

xは推移的 :⇔ ∀y∀z(z∈y∈x ⇒ z∈x)
On:={ x | xは推移的 ∧ ∀y(y∈x ⇒ yは推移的) ∧ ￢(x∈x) }
Onは順序数全体
cf(LimOn)=cf(On)？

Split:={ (σ,{ (μ,ν) | μ,ν∈G ∧ σ=μ*ν }) | σ∈G }
F(φ)×F(ψ):=Σ{ (ρ, Σ{ ((μ,ν), φ(μ)×ψ(ν)) | (μ,ν)∈Split(ρ) }) | ρ∈G }
1:=Cup({ (e,1) },{ (σ,0) | σ∈G＼{e} })

(R[G],+,×)は群環、0(∈Map(G,R)の方)は(R[G],+)の単位元、1(∈Map(G,R)の方)は(R[G],×)の単位元

f∈Map(X,Y)
A:={x_1, ... ,x_n}⊂X
Σ{ (x,f(x)) | x∈A }:=f(x_1)+ ... +f(x_n)

ラマヌジャンのL関数

X:=Y:=Complex
A:=?
f(n,x):=mul(τ(n),pow(1/n,x))
g(n,x):=1/(1 - mul(τ(n),pow(1/n,x)) - pow(1/n,mul(x,2) - 11))
τ:=?
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }

(A,f,g,φ)∈S

￢￢φはφに置き換えても良い。逆も可。
￢(￢φ∧￢ψ)は(φ∨ψ)に置き換えても良い。逆も可。
(￢φ∨ψ)は(φ⇒ψ)に置き換えても良い。逆も可。
((φ⇒ψ)∧(ψ⇒φ))は(φ⇔ψ)に置き換えても良い。逆も可。
￢∃x￢φは∀xφに置き換えても良い。逆も可。

(￢￢φ⇔φ)
(￢(￢φ∧￢ψ)⇔(φ∨ψ))
((￢φ∨ψ)⇔(φ⇒ψ))
(((φ⇒ψ)∧(ψ⇒φ))⇔(φ⇔ψ))
(￢∃x￢φ⇔∀xφ)
どんな論理式φ、ψについても真とする論理式になる。