∀a∀b(a,b∈Univ ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
December 18, 2025 at 9:53 PM
∀a∀b(a,b∈Univ ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
葉層構造から葉空間を導くということとは
December 11, 2025 at 3:40 AM
葉層構造から葉空間を導くということとは
場とは何か
場の量子化の手順
量子場とは何か
場の量子化の手順
量子場とは何か
December 11, 2025 at 3:39 AM
場とは何か
場の量子化の手順
量子場とは何か
場の量子化の手順
量子場とは何か
(R,+,×)は環
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
December 8, 2025 at 1:57 PM
(R,+,×)は環
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
aは定数、xは変数
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
December 8, 2025 at 2:21 AM
aは定数、xは変数
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
位相幾何学に入る前にホモロジー代数をやっておいた方が良さそう。ホモロジー代数では鎖複体という抽象性の高い所から話が始まるので内容がすっきりしていて理論全体の見通しが良いらしい。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
December 7, 2025 at 4:55 AM
位相幾何学に入る前にホモロジー代数をやっておいた方が良さそう。ホモロジー代数では鎖複体という抽象性の高い所から話が始まるので内容がすっきりしていて理論全体の見通しが良いらしい。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
CMap(X,Y)はXからYへの連続写像全体
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
December 6, 2025 at 3:09 AM
CMap(X,Y)はXからYへの連続写像全体
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
Suc(x):=Cup(x,{x})
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
December 6, 2025 at 2:11 AM
Suc(x):=Cup(x,{x})
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
群環
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
December 5, 2025 at 12:32 PM
群環
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔: { (x,y) | P[x,y] }は写像
December 3, 2025 at 5:25 AM
∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔: { (x,y) | P[x,y] }は写像
K,Lは体
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
December 2, 2025 at 1:19 AM
K,Lは体
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
S:={ (A,f,g,φ) | A⊂X ∧ f,g∈Map(Nat×A,Y) ∧ φ∈Map(Nat,Nat) ∧ φは順序保存 ∧ ∀x(x∈A ⇒ Σ{ (n,f(n,x)) | n∈Nat }=Π{ (n,g(φ(n),x)) | n∈Nat }) }
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
December 1, 2025 at 5:37 PM
S:={ (A,f,g,φ) | A⊂X ∧ f,g∈Map(Nat×A,Y) ∧ φ∈Map(Nat,Nat) ∧ φは順序保存 ∧ ∀x(x∈A ⇒ Σ{ (n,f(n,x)) | n∈Nat }=Π{ (n,g(φ(n),x)) | n∈Nat }) }
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
f∈Map(X,Y)に対し、
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
December 1, 2025 at 9:58 AM
f∈Map(X,Y)に対し、
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
D := { (f, { (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X) ∧ limX(φ)=x ∧ ∀n(n∈Nat ⇒ φ(n)≠x)) ⇒ limY(slope(f,φ))=y) }) | f∈Map(X,Y) }
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
December 1, 2025 at 2:19 AM
D := { (f, { (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X) ∧ limX(φ)=x ∧ ∀n(n∈Nat ⇒ φ(n)≠x)) ⇒ limY(slope(f,φ))=y) }) | f∈Map(X,Y) }
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
集合論の言語
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
November 25, 2025 at 6:43 AM
集合論の言語
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
分割の定義（ついでに区間も定義）
ベースの集合Xには、全順序構造が入っている。
Aは区間 :⇔ (A⊂X ∧ ∃a∃b(a,b∈X ∧ A={x | a＜x≦b}))
(A_i | 1≦i≦n)は分割 :⇔ (∀i(A_iは区間) ∧ ∀i∀j(i≠j ⇒ Cap(A_i,A_j)=∅) ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})は区間)
(A_i | 1≦i≦n)はBの分割 :⇔ ((A_i | 1≦i≦n)は分割 ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})=B)
ベースの集合Xには、全順序構造が入っている。
Aは区間 :⇔ (A⊂X ∧ ∃a∃b(a,b∈X ∧ A={x | a＜x≦b}))
(A_i | 1≦i≦n)は分割 :⇔ (∀i(A_iは区間) ∧ ∀i∀j(i≠j ⇒ Cap(A_i,A_j)=∅) ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})は区間)
(A_i | 1≦i≦n)はBの分割 :⇔ ((A_i | 1≦i≦n)は分割 ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})=B)
November 22, 2025 at 2:20 PM
分割の定義（ついでに区間も定義）
ベースの集合Xには、全順序構造が入っている。
Aは区間 :⇔ (A⊂X ∧ ∃a∃b(a,b∈X ∧ A={x | a＜x≦b}))
(A_i | 1≦i≦n)は分割 :⇔ (∀i(A_iは区間) ∧ ∀i∀j(i≠j ⇒ Cap(A_i,A_j)=∅) ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})は区間)
(A_i | 1≦i≦n)はBの分割 :⇔ ((A_i | 1≦i≦n)は分割 ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})=B)
ベースの集合Xには、全順序構造が入っている。
Aは区間 :⇔ (A⊂X ∧ ∃a∃b(a,b∈X ∧ A={x | a＜x≦b}))
(A_i | 1≦i≦n)は分割 :⇔ (∀i(A_iは区間) ∧ ∀i∀j(i≠j ⇒ Cap(A_i,A_j)=∅) ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})は区間)
(A_i | 1≦i≦n)はBの分割 :⇔ ((A_i | 1≦i≦n)は分割 ∧ Union({A_i | 1≦i≦n})=B)
解析という言葉がくっつく分野名
実解析
関数解析
複素解析
確率解析
調和解析
実解析
関数解析
複素解析
確率解析
調和解析
November 15, 2025 at 2:44 AM
解析という言葉がくっつく分野名
実解析
関数解析
複素解析
確率解析
調和解析
実解析
関数解析
複素解析
確率解析
調和解析
Mは集合論モデルのとき
Φ:={x|∀y(￢(y∈x))}
{∅}⊂Cap(Φ,M)
Ω:={x|∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ (y,z)∈Suc) ⇒ z∈x)}
ω:=Intersect(Ω)
{ω}⊂Cap(Ω,M)
となっていないといけない
{∅}:=Φ
集合論的な等号'='が有効な下では、Φには要素はただ一つしかなく、それを∅としている（空集合記号の定義）
Onは順序数全体
Cap(Ω,On)=On
Union(Cap(On,M))∈On
モデルには天井が必要？
到達不能基数？
Φ:={x|∀y(￢(y∈x))}
{∅}⊂Cap(Φ,M)
Ω:={x|∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ (y,z)∈Suc) ⇒ z∈x)}
ω:=Intersect(Ω)
{ω}⊂Cap(Ω,M)
となっていないといけない
{∅}:=Φ
集合論的な等号'='が有効な下では、Φには要素はただ一つしかなく、それを∅としている（空集合記号の定義）
Onは順序数全体
Cap(Ω,On)=On
Union(Cap(On,M))∈On
モデルには天井が必要？
到達不能基数？
November 14, 2025 at 1:49 AM
Mは集合論モデルのとき
Φ:={x|∀y(￢(y∈x))}
{∅}⊂Cap(Φ,M)
Ω:={x|∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ (y,z)∈Suc) ⇒ z∈x)}
ω:=Intersect(Ω)
{ω}⊂Cap(Ω,M)
となっていないといけない
{∅}:=Φ
集合論的な等号'='が有効な下では、Φには要素はただ一つしかなく、それを∅としている（空集合記号の定義）
Onは順序数全体
Cap(Ω,On)=On
Union(Cap(On,M))∈On
モデルには天井が必要？
到達不能基数？
Φ:={x|∀y(￢(y∈x))}
{∅}⊂Cap(Φ,M)
Ω:={x|∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ (y,z)∈Suc) ⇒ z∈x)}
ω:=Intersect(Ω)
{ω}⊂Cap(Ω,M)
となっていないといけない
{∅}:=Φ
集合論的な等号'='が有効な下では、Φには要素はただ一つしかなく、それを∅としている（空集合記号の定義）
Onは順序数全体
Cap(Ω,On)=On
Union(Cap(On,M))∈On
モデルには天井が必要？
到達不能基数？
空集合の公理
∃x∀y(￢(y∈x))
無限集合の公理
∃x(∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ ∀u(u∈z ⇔ (u∈y ∨ u=y))) ⇒ z∈x))
ベキ集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x))
和集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x))
対集合の公理
∀x∀y∃z∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y))
置換公理
∀x(∀u(u∈x ⇒ ∃!v(P[u,v])) ⇒ ∃y∀v(v∈y ⇔ ∃u(u∈x ∧ P[u,v])))
∃x∀y(￢(y∈x))
無限集合の公理
∃x(∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ ∀u(u∈z ⇔ (u∈y ∨ u=y))) ⇒ z∈x))
ベキ集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x))
和集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x))
対集合の公理
∀x∀y∃z∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y))
置換公理
∀x(∀u(u∈x ⇒ ∃!v(P[u,v])) ⇒ ∃y∀v(v∈y ⇔ ∃u(u∈x ∧ P[u,v])))
November 13, 2025 at 11:54 AM
空集合の公理
∃x∀y(￢(y∈x))
無限集合の公理
∃x(∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ ∀u(u∈z ⇔ (u∈y ∨ u=y))) ⇒ z∈x))
ベキ集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x))
和集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x))
対集合の公理
∀x∀y∃z∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y))
置換公理
∀x(∀u(u∈x ⇒ ∃!v(P[u,v])) ⇒ ∃y∀v(v∈y ⇔ ∃u(u∈x ∧ P[u,v])))
∃x∀y(￢(y∈x))
無限集合の公理
∃x(∅∈x ∧ ∀y∀z((y∈x ∧ ∀u(u∈z ⇔ (u∈y ∨ u=y))) ⇒ z∈x))
ベキ集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x))
和集合の公理
∀x∃y∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x))
対集合の公理
∀x∀y∃z∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y))
置換公理
∀x(∀u(u∈x ⇒ ∃!v(P[u,v])) ⇒ ∃y∀v(v∈y ⇔ ∃u(u∈x ∧ P[u,v])))
Pow := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x)) }
Union := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x)) }
Intersect := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ (∃v(u∈v ∧ v∈x) ∧ ∀v(v∈x ⇒ u∈v))) }
Pair := { ((x,y),z) | ∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y)) }
Union := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x)) }
Intersect := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ (∃v(u∈v ∧ v∈x) ∧ ∀v(v∈x ⇒ u∈v))) }
Pair := { ((x,y),z) | ∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y)) }
November 9, 2025 at 11:50 AM
Pow := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∀v(v∈u ⇒ v∈x)) }
Union := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x)) }
Intersect := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ (∃v(u∈v ∧ v∈x) ∧ ∀v(v∈x ⇒ u∈v))) }
Pair := { ((x,y),z) | ∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y)) }
Union := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ ∃v(u∈v ∧ v∈x)) }
Intersect := { (x,y) | ∀u(u∈y ⇔ (∃v(u∈v ∧ v∈x) ∧ ∀v(v∈x ⇒ u∈v))) }
Pair := { ((x,y),z) | ∀u(u∈z ⇔ (u=x ∨ u=y)) }
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇔ ￢∃x∃y(P[x,y]) ⇔ ∀x∀y(￢P[x,y])
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
が成立
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ { (x,y) | P[x,y] }は写像
∅は写像
が成立
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
が成立
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ { (x,y) | P[x,y] }は写像
∅は写像
が成立
November 8, 2025 at 12:11 PM
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇔ ￢∃x∃y(P[x,y]) ⇔ ∀x∀y(￢P[x,y])
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
が成立
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ { (x,y) | P[x,y] }は写像
∅は写像
が成立
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
が成立
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
{ (x,y) | P[x,y] }=∅ ⇒ { (x,y) | P[x,y] }は写像
∅は写像
が成立
Dom := { (f,x) | ∀u(u∈x ⇔ ∃v((u,v)∈f)) }
Ran := { (f,y) | ∀v(v∈y ⇔ ∃u((u,v)∈f)) }
Prod := { ((x,y),z) | ∀u∀v((u,v)∈z ⇔ (u∈x ∧ v∈y)) }
∃!x(P[x]) :⇔ (∃x(P[x]) ∧ ∀u∀v((P[u] ∧ P[v]) ⇒ u=v))
Ran := { (f,y) | ∀v(v∈y ⇔ ∃u((u,v)∈f)) }
Prod := { ((x,y),z) | ∀u∀v((u,v)∈z ⇔ (u∈x ∧ v∈y)) }
∃!x(P[x]) :⇔ (∃x(P[x]) ∧ ∀u∀v((P[u] ∧ P[v]) ⇒ u=v))
November 8, 2025 at 11:48 AM
Dom := { (f,x) | ∀u(u∈x ⇔ ∃v((u,v)∈f)) }
Ran := { (f,y) | ∀v(v∈y ⇔ ∃u((u,v)∈f)) }
Prod := { ((x,y),z) | ∀u∀v((u,v)∈z ⇔ (u∈x ∧ v∈y)) }
∃!x(P[x]) :⇔ (∃x(P[x]) ∧ ∀u∀v((P[u] ∧ P[v]) ⇒ u=v))
Ran := { (f,y) | ∀v(v∈y ⇔ ∃u((u,v)∈f)) }
Prod := { ((x,y),z) | ∀u∀v((u,v)∈z ⇔ (u∈x ∧ v∈y)) }
∃!x(P[x]) :⇔ (∃x(P[x]) ∧ ∀u∀v((P[u] ∧ P[v]) ⇒ u=v))
fは写像 :⇔ (f=∅ ∨ (f≠∅ ∧ f⊂Prod(Dom(f),Ran(f)) ∧ ∀x(x∈Dom(f) ⇒ ∃!y(y∈Ran(f) ∧ (x,y)∈f))))
November 8, 2025 at 11:25 AM
fは写像 :⇔ (f=∅ ∨ (f≠∅ ∧ f⊂Prod(Dom(f),Ran(f)) ∧ ∀x(x∈Dom(f) ⇒ ∃!y(y∈Ran(f) ∧ (x,y)∈f))))
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 ⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔ ∀x∃!y(P[x,y])
November 8, 2025 at 11:24 AM
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 ⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔ ∀x∃!y(P[x,y])
自然数全体に大小関係による順序が入っているとする。このときその順序が整列順序であることを証明出来るか。
October 26, 2025 at 12:13 PM
自然数全体に大小関係による順序が入っているとする。このときその順序が整列順序であることを証明出来るか。