@yoroyorokuroyo.bsky.social
これは誤り：自明な反例がある。残りn個のベクトルを全て、最初の一次独立なn個のベクトルの総和にすれば、n次元と1次元に分割される。□
そりゃそうだ…。
そりゃそうだ…。
December 13, 2025 at 11:28 PM
これは誤り：自明な反例がある。残りn個のベクトルを全て、最初の一次独立なn個のベクトルの総和にすれば、n次元と1次元に分割される。□
そりゃそうだ…。
そりゃそうだ…。
しかし、頂点辺行列に於いて、各辺の端点にあたる要素を、それぞれ、1と2（または、1と-1）にすれば、当然、任意の列ベクトルは残りの列ベクトルの一次結合で表すことができる（∵全ての列ベクトルの和が零ベクトルとなるため）。この場合恐らく、核の様相は変わってしまう。
December 13, 2025 at 2:27 AM
しかし、頂点辺行列に於いて、各辺の端点にあたる要素を、それぞれ、1と2（または、1と-1）にすれば、当然、任意の列ベクトルは残りの列ベクトルの一次結合で表すことができる（∵全ての列ベクトルの和が零ベクトルとなるため）。この場合恐らく、核の様相は変わってしまう。
この予想は誤り：核の元が列ベクトルの一次結合で表されたとすると、核の元のノルムは零でなくてはならないが、それは核の零でない成分の数に依存する。
December 13, 2025 at 1:32 AM
この予想は誤り：核の元が列ベクトルの一次結合で表されたとすると、核の元のノルムは零でなくてはならないが、それは核の零でない成分の数に依存する。
頂点辺行列の核の任意の元は、行列の列ベクトルの一次結合で表されるのではないだろうか…？
少なくとも、次元的には充分である。
少なくとも、次元的には充分である。
December 13, 2025 at 12:45 AM
頂点辺行列の核の任意の元は、行列の列ベクトルの一次結合で表されるのではないだろうか…？
少なくとも、次元的には充分である。
少なくとも、次元的には充分である。
樹状とは、その頂点を端点とする３つのエッジが全てカットエッジである事を言う。したがって(a)は自明。
December 11, 2025 at 11:50 PM
樹状とは、その頂点を端点とする３つのエッジが全てカットエッジである事を言う。したがって(a)は自明。
自分で証明しておいて、なにか狐につままれたような感覚に陥る。つまり、自分自身以外の元の線形結合で表せないような孤立したベクトルがもしひとつ以上あったら、一次独立な元を分離した残りの次元が落ちるという事。
December 11, 2025 at 5:00 AM
自分で証明しておいて、なにか狐につままれたような感覚に陥る。つまり、自分自身以外の元の線形結合で表せないような孤立したベクトルがもしひとつ以上あったら、一次独立な元を分離した残りの次元が落ちるという事。
固有値は1か-1かしかないため、辺３彩色可能なサイクル頂点行列の自乗が単位行列になる可能性がある。
December 2, 2025 at 9:35 PM
固有値は1か-1かしかないため、辺３彩色可能なサイクル頂点行列の自乗が単位行列になる可能性がある。
すると例えば、サイクルには奇数頂点のものも存在するが、頂点辺行列の核には存在しない理由も素直に理解できる。単純に、複数コンポーネントからなるベクトルを意図的に排除していたから気付かなかったに過ぎないと。
November 25, 2025 at 4:52 AM
すると例えば、サイクルには奇数頂点のものも存在するが、頂点辺行列の核には存在しない理由も素直に理解できる。単純に、複数コンポーネントからなるベクトルを意図的に排除していたから気付かなかったに過ぎないと。
解釈の仕方によって理解の方向性も変わるのだから、解釈のしかたを考えることも大切であると実感する。一見同語反復のように見える、サイクル頂点行列の核と頂点辺行列の核の関係は実際には意図的に従属ベクトルを排除していたからそう見えるだけで、無駄に見える従属ベクトルを敢えて組み入れる事でむしろ行列の性質に対する理解が明快になった。
November 25, 2025 at 4:49 AM
解釈の仕方によって理解の方向性も変わるのだから、解釈のしかたを考えることも大切であると実感する。一見同語反復のように見える、サイクル頂点行列の核と頂点辺行列の核の関係は実際には意図的に従属ベクトルを排除していたからそう見えるだけで、無駄に見える従属ベクトルを敢えて組み入れる事でむしろ行列の性質に対する理解が明快になった。
位数２の基底ベクトルが位数３でもそのまま基底ベクトルの要件を満たすかどうかは要検証だが、これが正しいならば、サイクル頂点行列の階数が、具数サイクルしか存在しないときにnとなり、そうでない場合には(n+1)となる事が示される。
November 14, 2025 at 12:47 AM
位数２の基底ベクトルが位数３でもそのまま基底ベクトルの要件を満たすかどうかは要検証だが、これが正しいならば、サイクル頂点行列の階数が、具数サイクルしか存在しないときにnとなり、そうでない場合には(n+1)となる事が示される。
位数２の核の基底について、サイクルの辺数が偶数のもののみに限定すると、もともと奇数辺サイクルが存在しない場合は次元(n+1)、存在する場合は次元nであり、偶数辺コンポーネントはそのまま２色に辺彩色して位数３の核の基底の元に対応するので次元(n+1)、奇数辺コンポーネント同士はパスで接続したものに対応するのででやはり次元n。しかし、色の入れ替えによる類別によって次元が１だけ減少するので、それぞれ次元nと次元(n-1)となる。
November 13, 2025 at 11:57 PM
位数２の核の基底について、サイクルの辺数が偶数のもののみに限定すると、もともと奇数辺サイクルが存在しない場合は次元(n+1)、存在する場合は次元nであり、偶数辺コンポーネントはそのまま２色に辺彩色して位数３の核の基底の元に対応するので次元(n+1)、奇数辺コンポーネント同士はパスで接続したものに対応するのででやはり次元n。しかし、色の入れ替えによる類別によって次元が１だけ減少するので、それぞれ次元nと次元(n-1)となる。
いや、この対応関係は錯誤だ。このやり方じゃダメだな…。
November 13, 2025 at 10:45 AM
いや、この対応関係は錯誤だ。このやり方じゃダメだな…。
位数２から位数３への対応付けは簡単で、位数２の核の２元それぞれのの余グラフの組で対応付ける事ができる。位数３の核は、ベクトルの各成分について値の置換によって移りあうものを同値とする類別で取り扱う。
November 13, 2025 at 12:51 AM
位数２から位数３への対応付けは簡単で、位数２の核の２元それぞれのの余グラフの組で対応付ける事ができる。位数３の核は、ベクトルの各成分について値の置換によって移りあうものを同値とする類別で取り扱う。
この事に気付いてから、今まで分からなかった核の次元が実は思ったより小さい事も判明した。例えば正六面体は次元３だが、正四面体は次元２ではなく次元１だった。同様に三角柱は次元２となる。証明が必要だが、経験的に、一般に頂点数を2nとするとき、奇数サイクルが存在しない場合は予想通り次元nだが、奇数サイクルを含む場合には、位数２の場合の次元(n+1)ではなく次元(n-1)となり、興味深い。
November 12, 2025 at 11:59 PM
この事に気付いてから、今まで分からなかった核の次元が実は思ったより小さい事も判明した。例えば正六面体は次元３だが、正四面体は次元２ではなく次元１だった。同様に三角柱は次元２となる。証明が必要だが、経験的に、一般に頂点数を2nとするとき、奇数サイクルが存在しない場合は予想通り次元nだが、奇数サイクルを含む場合には、位数２の場合の次元(n+1)ではなく次元(n-1)となり、興味深い。
ここで注意しなければならないのは、次数３の頂点を持つ基底ベクトルが存在する可能性があるという事。
October 17, 2025 at 4:55 AM
ここで注意しなければならないのは、次数３の頂点を持つ基底ベクトルが存在する可能性があるという事。
したがって、グラフがカットエッジを持つ事と、グラフの核の任意の基底がカットエッジを持つ基底ベクトルを含む事とは同値であると言える。よって、グラフがカットエッジを持たなければ、カットエッジを持たないベクトルのみからなる核の基底が必ず存在する。
October 17, 2025 at 12:18 AM
したがって、グラフがカットエッジを持つ事と、グラフの核の任意の基底がカットエッジを持つ基底ベクトルを含む事とは同値であると言える。よって、グラフがカットエッジを持たなければ、カットエッジを持たないベクトルのみからなる核の基底が必ず存在する。
これはグラフ全体が次元数より少ない個数の互いに独立なカットエッジを持たない基底ベクトルに分解できる事を示している。一方で、カットエッジを持つ基底ベクトルはどう合成しても必ずカットエッジを持つので、元のグラフがカットエッジを持たないという仮定の元では次元が一致せず矛盾する事になる。
October 17, 2025 at 12:13 AM
これはグラフ全体が次元数より少ない個数の互いに独立なカットエッジを持たない基底ベクトルに分解できる事を示している。一方で、カットエッジを持つ基底ベクトルはどう合成しても必ずカットエッジを持つので、元のグラフがカットエッジを持たないという仮定の元では次元が一致せず矛盾する事になる。