予想：三正則グラフに於ける、サイクル頂点行列の各頂点に対応する縦ベクトルについて、
(a)零ベクトルならば、その頂点は樹状。
(b)自分自身以外の残りのベクトルの線形合成で表せないならば、その頂点はカットエッジの端点。
(c)以上のようなベクトルが存在しない、すなわち自分自身以外の残りのベクトルの線形結合で表される零でないベクトルのみからなる場合、そのグラフにはカットエッジが存在しない。

n次元ベクトル空間の2n個の元の組について、このベクトルの組の次元がnだった時、この中の任意の元が、必ず、自分自身以外の残りの元の線形結合で表される時、この元の組は、n個ずつの、一次独立な元の組二つに分割する事ができる。
∵もしもどのようなn個ずつの分割（例えばＡとＢに分ける）をしても、少なくとも一方（例えばＢの方）が一次独立でないと仮定する。Ａの任意の元はＡの残りの元の線形結合で表されないから、全てＢの線形結合にならなければならない。これはＡの次元がＢの次元以下である事を意味するから、Ａは一次独立ではなく、矛盾。□

カットエッジのない連結な三正則グラフで、任意の辺を取り除くと必ずカットエッジが生まれるようなグラフは存在しない。
∵辺Ａを取り除くと辺Ｂがカットエッジとなるとすると、辺Ｂを取り除けば辺Ａがカットエッジとなる。辺Ａと辺Ｂを含む任意のサイクルを考えると、このサイクル上の全ての辺が、カットエッジになりうる。三正則であるから、このグラフはこのサイクルから放射状のグラフとなり、初めからカットエッジが存在する事となり、矛盾。

頂点数2nの三正則グラフのサイクル頂点行列を、二つの正則なn次正方行列に分解したとき、この二つの行列の固有値と固有ベクトルを調べる事で、辺３彩色の可否を知る事ができるらしい…。

サイクル頂点行列について、多少誤解をしていた。もちろんサイクルは頂点辺行列の核の基底をとるのが望ましいが、もとより全てのサイクルをとっても構わない（階数が同じなら多い分には構わない）わけで、その上でサイクル頂点行列の核をとると、それが頂点辺行列の核の商空間と同型になる。

完全に見落としていたが、３正則グラフから１辺（とその両端の頂点）を取り除いても３正則ではあるが、だからと言って、辺３彩色可能な３正則グラフから１辺を取り除いたグラフが辺３彩色可能とは限らない：カットエッジができる可能性があるからだ。

新しい発見：サイクル頂点行列の核と、位数３の体上の頂点辺行列の核は、（適切な類別によって）同型となる事がわかった。もし、位数３の体上での頂点辺行列の核の次元が分かれば、サイクル頂点行列の階数を求める事ができるかもしれない。

３正則グラフのサイクル頂点行列について、１頂点のみ符号の異なる同一頂点を通過するサイクルは存在しない。もし存在すればそのグラフはその頂点を端点とするカットエッジを持つ。

３正則グラフにおける位数３の体上の頂点辺行列の核に関する考察。グラフがカットエッジを持たない時、核の基底に必ずカットエッジを持つサブグラフ（基底ベクトル）が現れると仮定すると、カットエッジを含む基底ベクトルの数が最少となる基底に関して、カットエッジを持たない基底ベクトルの線形結合でグラフ全体を表す事ができる事になる。

昨日、残った薄力粉にパン用の全粒粉を足して、パン焼きメニューある炊飯器でパンを焼いた。薄力粉200gに全粒粉100g、塩3g、ドライイースト3g、砂糖23g、水または牛乳200ccで、パン焼きメニュー3回分となる。つまり種を三頭分して、3回に分けて焼くので、昨日はずっとパンを焼いてた気がする。初めて全粒粉を使ってみたが、香ばしくて美味しかった。

ここしばらくの考察で、少し考え方を変える必要を感じた。
今考えているのは、１正則サブグラフを持つ３正則グラフが辺３彩色可能となる条件。カットエッジを持たなければ彩色可能なはず。
(2n-2)頂点の３正則グラフが辺３彩色可能ならば、2n頂点の３正則グラフは、必ず１正則サブグラフを持つ事はすでにわかっている。

ループのない連結な４正則グラフの（対称と回転の重複含む）組み合わせの総数は、頂点数(n+1)に対して(2n)!/(2^n)を得る。

もし、ループのない（多重辺は許容する）連結な４正則グラフが常に（頂点）３彩色可能ならば、３正則グラフも辺３彩色可能なのではないか。

３正則グラフの辺３彩色を解くには、位数２の体上の頂点辺行列を用いて核と核の基底を求め、各行が核のそれぞれの基底ベクトルに対応するように位数３の体上のサイクル頂点行列を構成する必要がある。頂点数が2Vである時、核の次元は(V+1)となるが、辺３彩色を解く場合にはサイクル頂点行列はV行あれば良い。

連結かつ単純な３正則グラフの辺３彩色に関連して、頂点辺行列を位数３の体上で考えた場合、この行列の核には偶数辺のサイクルが全て含まれ、奇数辺のサイクルは一切含まれない。その代わり、サイクルではない元が含まれる。位数２の場合と４の場合には核がサイクルのみになる場合とは随分降るまいが異なるが、その代わり核に含まれるベクトルの成分の和は必ず０になる事と、自明な元として零ベクトルの外に、全ての成分が同一値のベクトルが含まれている。頂点数2nの時、核の次元はn、頂点辺行列の階数は2nとなるようだ。この事からサイクル頂点行列は基底を全て列挙する必要はなく、実は偶数サイクルの基底のみで充分であると予想される。

以前から、四色定理をエレガントに証明する方法を考えている。そのためには任意の２頂点間にその２頂点を通るサイクルが必ず存在するような３正則単純グラフが辺３彩色可能である事をエレガントに証明すれば良い事がわかっている。無論、これをエレガントに証明するのはそれほど簡単ではないようだ。いくつか代数的アプローチを試しているが、最も有望と思われるのは、位数３の体上のサイクル頂点行列によるものと、位数４の体上の頂点辺行列によるものである。どちらも最終的には定数項のない多変数一次多項式の積が恒等的に零にならない事を示す事が求められる。特にサイクル頂点行列に於いては部分行列の正則性を示す事が、証明の鍵となる。

昨年は、推しというほど推してはいないシンガーソングライターの地元での全てのライブに駆けつけた。普段のライブ予算の数年分使ったかも（笑）。ついでに共演者のライブや公演も鑑に行ったり、しばらくぶりに映画鑑賞したり。無駄に充実した一年だったかも知れない。

新年早々、こんな事言うのもなんだけど、なんだかいろいろ面倒くさくなって、何もかも投げ出したくなる。

Bluesky初ポスト。