mstdn.maud.io Advent Calendar 2025 13 日目の記事です。昨日の記事は @Coro さんの 好きな動画チャンネル 2025 - blog.coro3.net でした。明日の記事は @zgock999 さんの「たまにはなんか書くか」です。 * * * どうも @mug です。伊豆大島の山奥から失礼します。 AI 生成画像ではありません。念のため。 うーん、素敵な場所ですね！**観光地には見えないくらい** 、ごく普通の山道です。 実際、ここに観光案内板があるわけでもありません。後ろを向いたからといって、絶景が広がっているわけでもありません。 ですが、ここには「ある用事」があって、この場所の写真を撮りにきました。ということで、最近の私の**趣味** を紹介します。 ### 趣味：リアルACW訪問 GeoGuessr というゲームがあります。世界中のストリートビュー画像がランダムに出てきて、その場所を地図上で当てるゲームです。 ちょっとマニアックな話になりますが、GeoGuessr には "World" という名前の公式世界マップがあります。しかし、この World は出題に謎の偏りがあったりして、なんとも「癖の強い」マップでした（※自分がよく遊んでいた 2022 年の話です。今はどうか知りません）。 > 第0回GeoGuessrガチ勢オフ会 > こちらで開催します。 > 希望者は現地集合でお願いします https://t.co/avPcRzr7dJ pic.twitter.com/iBSVyroPKc > > — Daig_O ʅ(･Θ･)ʃ (@Daig_O) 2024年4月30日 マジで、このミッドウェー島南西端ばっかり出ました そこで、World に代わる、出題バランスとゲーム性の担保されたマップを作る動きが有志から出てきます。その中で生まれたのが **ACW (A Community World)** マップです。ACW は人気も高く、一時期は公式の Duels 機能に逆輸入されていたほどです。他と比べても難易度が低めで、遊んでいて楽しいマップです。 ACW マップには世界中から **111,310 地点** が収録されていて（2025年12月現在）、有志が手作業で選んだそうです。すごい。出題地点には、住宅街や農村地帯もあれば、冒頭のような山道、まれに観光スポットも混ざっています。 私はそんな ACW マップが大好きです。なので、**ACW で見た場所を、ぜんぶ訪れようと思います**。というわけで、リアルでACWの出題地点を訪問する、**「リアルACW訪問」**が最近の私の趣味です。 ちなみに、「リアルACW訪問」は自分だけの趣味ではなく、何人か先駆者がいます。 X (旧 Twitter) で #リアルACW訪問 で検索すると、世界のあちこちの写真が出てくるので、あとで眺めてみてください。 さて、冒頭の伊豆大島をゲームのスクリーンショットと比べてみると、こんな感じです。 左：mug撮影、右：出題時のスクリーンショット どうでしょう？脇のガードレールの色や、木の生え方、道の曲がり方を比べてみると、たしかに間違いなく同じ地点です。 実際にゲームと同じ景色が目の前に現れると、なんだかパズルのピースがぴったり合ったような、不思議な**感動** があります。ストリートビューって現実の道を撮影しているんだから、この場所が存在するのは当たり前なんですけどね。どうでしょう、この感動、伝わりますか……？ というわけで、~~読者から共感を得られたかに不安を覚えつつ、~~ 今年「リアルACW訪問」した中で印象的だった場所をいくつか紹介していきます。 ### 青森 まずは青森市の住宅街から。Y字路の奥の赤いビルが目立つ、すてきな路地です。 ここを「リアルACW訪問」した時の写真がこちらです。ちゃんと、奥の赤いビルも、左右の建物もそのままあります。うれしいですね……！一方で、道脇や屋根の上に雪が積もっている点が、ストリートビューと違って印象的です。 ちなみに、青森市を訪れた日は、積雪深が113cmでした。訪れた時期にしては、平年の2倍くらい積もっていたようです。ここに来るまでにも、いくつか雪道を通ってきました。 駅前の放置自転車が完全に雪に埋もれており、雪中熟成のニンジンみたいになっていて味わい深かったです。 ついでに、ずっと行ってみたかった三内丸山遺跡にも寄ったのですが、 遺跡って冬に行くと、ただの雪原なんですね……。 Coffee break #1 ☕ ストリートビューの撮影時期 基本的に、ストリートビューは積雪のない時期に撮影されがちです。青森市内のストリートビューも例に漏れず、全て積雪のない時期（5月〜11月）に撮影されています。 ### 利尻島 北海道・利尻島にも ACW マップの出題地点があります。利尻町からオフロードの道を 2km ほど、標高差 60mくらい登ったところの丁字路です。 利尻島の ACW 出題地点 まわりは背の高い草木に囲まれていて、街灯もないような場所です。オフロードの道中も、人とは全くすれ違いませんでした。この丁字路目当てに観光に来る人は自分以外いないだろうと思うと、妙な優越感があります。 こういう謎地点を「リアルACW訪問」するとき、自転車やバイクは小回りが利いて便利です。ここを見に来るためだけに、利尻空港でマウンテンバイクを借りました。ルートの都合上、島一周 60km を走る羽目になったのですが、さすがにパソコンカタカタオタクには苦しかったです。 ちなみに、道中で昆布直売所の奥様から聞いた話ですが、利尻島は**島の風上が雨、風下が晴れ** というふうに天気が全然違うことがあるそうです。この日の風向は南で、島の南側は霧の強風でした。あまりにも向かい風がキツかったので後から調べたんですが、この日の最大風速は 18m/s だったそうです。そりゃあキツい。 島の南東、白い恋人のパッケージに描かれた丘。白すぎて何も見えず ACW の出題地点は島のちょうど真西で、晴れと曇りの境目くらいかなと思って行ったのですが、上の写真の通りこちらは曇りでした。残念に思いつつも、山の方角を見てみると、すーっと晴れ間が広がって、きれいに利尻富士が見えました。徳は積んでおくものですね。 ### 盛岡 盛岡市の ACW 出題地点は、イオンモール裏の住宅街にあります。家が並んで、電柱、歩道や車道もある、生活感あふれる道です。 この辺りには友人と一緒に来ていたのですが、「ちょっとここで待ってて」と言って、ゲームのスクリーンショットとなるべく同じ画角になるように、電柱の位置や奥のマンションの形を微調整しながら、数歩前に出てみたり、半歩下がってみたり、スマホを傾けてみたりして写真を撮っていました。 撮り終わって振り向いたら、「なにしてんだこいつ……」という顔をされていました。 夜は夜で雰囲気があっていいですね。ストリートビューは基本的に昼間に撮られるので、同じ場所の「夜の街並み」を見られるのは、現地訪問ならではの特権だなと思いました。 Coffee break #2 ☕ ストリートビューの画角 日本のストリートビューは、地上高 205cm から 360 度カメラで撮影されています。そのため、手持ちのスマホなどで画角を完全に合わせるのはかなり困難です。 写真を撮るコツですが、実際より少し後ろからズーム気味で撮ると、雰囲気が近くなっておすすめです。広角モードで撮ると、手前の建物にパースが強く効きすぎてしまいます。 ### 与那国 与那国島は日本最西端の島です。そんな与那国島には（おそらく）日本最西端の ACW マップ出題地点があります。与那国島らしい低い起伏と自然を一面に見渡せる、たいへん眺めの良いスポットです。 与那国島の ACW 出題地点 リアルACW訪問をしていると、出題者の意図を感じることがあります。GeoGuessrで出題されたのと同じ場所・アングルで写真を撮ると、ちゃんと「いい写真」に見えてくるんですよね。 ここは立体交差の高架をくぐったすぐ先が撮影地点でした。現地に行った時は、炎天下、汗を流しながら自転車で草木の間を走り抜けて、それはそれで旅の醍醐味なのですが、高架を抜けたこの場所で、一気に青空と与那国島の景色がバーッと広がって、本当に爽やかで美しい景色に見えました。 「たしかに、この島を一枚で切り取るならここかな」という気さえしてきて、この ACW というマップは、出題者が一つ一つ、見せたい景色を苦心して選んだマップなのかなと想像がふくらみます。いや、伊豆大島の山道を考えると、さすがにそれはないか……。 ところで、与那国島には、日本在来種のヨナグニウマという馬がいます。島の何か所かにヨナグニウマの牧場があり、そこで放牧されています。島の面積に対して牧場はかなり広く、牧場の中を道路が突っ切っていたりするので、道路から馬を観察することができます。 ACW 出題地点に向かうには、南牧場の中を通るルートが最短だったのですが、突然現れた馬の集団に道をふさがれて、経路変更を余儀なくされるなどのハプニングもありました。 ### ロンドン・ウェストミンスター ACW は "A Community **World** " の略なので、当然海外にも出題地点があります。なので、出題地点をぜんぶ訪れるには、海外に行く必要もありますね。 最後に、イギリス・ロンドンからの出題地点を紹介します。 ここはウェストミンスターにある、大使館が並ぶ通りの交差点です。ロンドンらしいレンガ造りの町並みに、窓が特徴的な奥の建物、手前右の "36 Buckingham Gate" の文字がチャーミングな場所です。 というわけで、飛行機に乗って…… 日本からはるばる、同じ交差点まで来ました。奥のビルも、"36 Buckingham Gate" の文字もそのままありますね！！ さすがに、奥の建物が見えてきた時にはちょっと感動しました。ここはバッキンガム宮殿に近いのもあって、かなり観光客の多い場所でした。 ここで「ゲームで出題された場所だ！」と喜んで写真を撮っていたら、通りがかった観光客の人たちも「ここがフォトスポットなのか？」という顔で同じ方向を撮りはじめて、ちょっと申し訳なくなりました。 Coffee break #3 ☕ 日本の ACW 出題地点数 ACW マップの出題地点は世界中にありますが、日本には全部で 2628 か所あるそうです。1 つの自治体あたり平均 1.5 か所ある計算になるので、あなたの街にも出題地点があるかもしれませんね。 ### おわりに こんな感じで、GeoGuessr の A Community World で出題された地点を訪れる「リアルACW訪問」をやっています。どれも観光ガイドに載るような場所ではありませんが、ゲームの中で一度見た風景に実際に立てたときの達成感は計り知れません。その土地土地の気候や人の気配を肌で感じて、同じ地点からまた新しい印象を受ける喜びもあります。 記事には書ききれなかった地点もいっぱいあり、これまで鹿児島、石垣島、アイラ島など、合計 24 地点を訪れてきましたが、 あと 111,286 地点を巡る必要があるようです。ではまた。 * * * ※本文中のゲーム画面の画像は、GeoGuessr のプレイ画面（Google ストリートビュー画像）を引用したものです。 Map data © Google

「Google マップ」においてストリートビュー（Google ストリートビュー）を表示する際に使用する「ペグマン」が、2025 年 7 月中旬に限定的に女の子アイコンに変更。韓国の 4 人組ガールズグループ「BLACKPINK」とのコラボレーションの一つ。日本では東京 23 区内でのみ「BLACKPINK」仕様の「ペグマン」に変更。

この記事は 2025 TSG Advent Calendar 4日目の記事です。昨日の記事は、ゆみやさんの 自分がセルフホストしているソフトウェア環境まとめ【2025年12月版】 - Project Fx 2.0 でした。 * * * 突然ですが、ここはどこでしょう？ GeoGuessrをやっていると、こういう景色で「**ギリシャ** か**イタリア** か、**スペイン** もあるな……」「とりあえず真ん中あたりの海に刺しておくか～」と悩むシチュエーション、ありますよね❓え、ない？ * 2地点のどちらかで迷っているとき * 同じ国の中で、3〜4地点くらい候補があるとき * 「マレーシアのどこか」「インドネシアのどこか」のように、ざっくりしか分からないとき など、悩ましい局面はいろいろありますが、最後はどこか1か所にピンを置くしかありません。こうした場面で有効な戦略が、どこが正解でも平均的に高い点数を取れるような位置にピンを置く**「ヘッジ (hedge)」** です。 この記事では、 > **「GeoGuessrでヘッジするとき、結局どこにピンを置けば一番トクなのか？」** を、シチュエーションごとに解き明かしていきます。 注：この記事において「トク」というのは、スコアの期待値が最大になる、という意味です。点数の分散は考慮しません。また、Duelsなどの対戦モードにおける最適戦略とは厳密には異なります。 ちなみに最初の画像の場所は、**AI生成なので存在しません** （カス） generated by Nano Banana Pro ### TL;DR 先に結論だけ雑に書いておくと： ##### 候補が**2択だけ** のとき 真ん中に置かない方がいい。**「より正解っぽいと思う方に全振り」** が点数期待値最大 ##### 候補が**近い距離で3択以上** あるとき（小さい国の複数都市など） 候補の**真ん中寄り** に置いた方が得になる場合がある ##### 候補が**広い範囲の何か所か** に離れて分布するとき 遠くに外すとどうせ点数はほぼゼロになるので、**一番ありそうな国・クラスターに寄せて刺す**のが得 ##### **海を挟んだ複数の地域が候補になっているとき** 地点分布や距離によって、「どちらかの陸に寄せるのが得」「海にヘッジするのが得」が変わる。 実際の最適地点は **期待値計算ツール** で調べてみよう ### GeoGuessrの点数はどう決まっている？ GeoGuessrの点数は、正解地点からの距離に応じて指数関数的に減っていきます。 > 正解から \\( d \\) キロメートル離れると、点数は \\( S(d) = 5000 e^{-K d} \\) * \\( d = 0 \\) だと（正解地点に置けると）5000 点 * 距離が離れるごとに、一定の割合でスコアが減っていく * \\( K \\) は点数のシビアさを決める係数。マップごとに違うが、ACWだと大体 \\( K=0.00054 \\)くらい ACWの距離と点数の相関 ### 2択のヘッジで真ん中に置くのは、損 #### 直感的には真ん中に置きたいかもしれないが…… たとえば、（そんな状況があるかはさておき）「うーんこれ、**ギリシャのあそこ**か、**イタリアのあそこ** の2択に見えるな……」という状況があったとします。 ここで 🤔「じゃあ間を取ってアドリア海あたりにピンを刺しておこう！どっちに転んでも平均的にはいいスコアでしょ！」という、真ん中ヘッジをすると、**期待値的にはこれは常に損** です。 #### ざっくり数値を見てみる 以下は概算の例ですが、雰囲気は掴めます。ギリシャ→中間地点→イタリアで、スコアが3割ずつ減っていくとすると、 ピンを置く位置 | 正解がギリシャ | 正解がイタリア | 期待値（確率50%ずつ） ---|---|---|--- ギリシャ | 5000点 | 2450点 | **3725点** 中間 | 3500点 | 3500点 | 3500点 イタリア | 2450点 | 5000点 | **3725点** 真ん中に置くと「当たったときの最大点（5000点）」を自分で削りにいってしまう一方、外れたときに救える点は指数関数の性質上ほとんど増えません。したがって期待値的には、**どちらかに全振りした方が得** です。 アテネとヴェローナで2択な場合の得点期待値 正解地点近くの点数の減衰が大きいので、なんとなく納得はできると思います。極端な例（日本とスイスの二択）で考えたりしてみると、直感が生えやすいかもしれません。 #### 結論：2択ならどちらかに寄せるのが期待値最大 候補が2地点だけなら： > **「自分がより当たりそうだと思う方」にピンを置くのが、常に期待値最大** （中間には置かない） 「51% vs 49%でこっちかな？」くらいでも、 **真ん中より、51% 側に全振りした方がスコア期待値としては得** です。 ### 3択以上のヘッジだと、どこが最適かは場合による さて、ここからが本題です。候補が**3か所以上** あっても、常にいずれかの候補地点が最適なヘッジ地点になるでしょうか？ ……答えは **No** です。では具体例を見てみましょう。 #### 3点が互いに近い場合、「真ん中」に置くのが最適 たとえば、東京、名古屋、新潟の3か所を同じくらいの確率で悩んでいたとします。 このように、候補の3点が互いに近い距離の場合、ある1点にクリック地点を寄せようとすると、他の2点が正解だった場合の減点の影響のほうが大きくなります。 東京、新潟、名古屋の3点で迷った場合の得点期待値。長瀞あたりに刺すのが最適 ということで、こういうケースでは、 > いずれかの候補の上にピンを置くより、**候補の真ん中らへんに置いた方が得** になったりします。詳しくは「それぞれの候補からの距離の平均が最も小さくなる場所」が最適ヘッジ地点の近似としてよいです。そのあたりの理由は最後の付録で解説します。 ざっくり感覚としては、ACWの場合は直径600kmくらいの範囲に候補が固まっていれば、その中の真ん中寄りに置いた方が得です。 それぞれの候補が複数地点のクラスタになった場合も同様です。このケースでは**真ん中をねらって打つのが強い** です。 東京都、新潟県、愛知県で迷った場合の得点期待値、最適な地点 #### 候補が世界に散らばっているときは、どれかに寄せて打つ 一方で、これが**1000kmを越えるスケール** になってくると話が変わります。たとえば、バンコク、ダッカ、コロンボの3か所で迷っているとします。 それぞれ互いに**めちゃくちゃ離れている** （約1500～2000km）ので、 * どこか 1 つの真上に置いて当たったとき：5000 点 * それ以外の 2 つが当たりだったとき：千km 単位で外す → どうせ数百点しかもらえない という構造になります。 このとき、「3国の真ん中」あたりに刺しても、当たりに対しても外れに対しても数千km 外すので、結局どれに対しても大きく外してしまい、**平均すると「どれか1国に振り切って当たるのを祈った方がマシ」** です。 バンコク、ダッカ、コロンボで迷った場合の得点期待値、最適な地点 ここで効いてくるのが、最初に説明したスコア計算式 \\( S(d) = 5000 e^{-K d} \\) です。 外した距離 \\( d \\) が数千km単位になってくるとほぼ 0 点扱いになるため、「遠い候補は無視してOK」という雰囲気がより強くなります。 なので、世界マップのような広いスケールでは、こういう結論になります。 > 離れた複数か所の候補で迷っている場合は、**「どのクラスターを信じて刺すか」が大事** それぞれの候補が複数地点のクラスタになった場合も同様です。このケースでは**どれか一つのクラスタを選んで打つのが強い**です。ただこの例は候補の配置がやや悪いので、バングラデシュ一択ですが……。 タイ、バングラデシュ、スリランカで迷った場合の得点期待値、最適な地点 ### 実践的なケースを見てみよう：その海ヘッジ、実は損？ ここまでの話はかなり手計算っぽいノリで、簡単な状況だけを考えてきました。最後に、もっと実践的なケースで、どこに刺すと期待スコアが最大になるか？をすこし計算してみましょう。 今回の記事のために、**「地点一覧を読み込んで、どこに刺すと期待スコアが最大になるか？」** を計算するツールを作ってみました。突貫工事なのでシンプルです。 github.com 実際にここから試せます。 mug.sh 機能はこれだけです。 * GeoGuessrのカスタムマップJSON（地点一覧）を読み込む * 得点期待値が一番大きい地点を探す * ついでにヒートマップを描画する では、このツールを使って、陸地と陸地の間にヘッジする、いわゆる**「海ヘッジ」** の是非を解析してみます。 対象は**マレーシア** と**インドネシア** とし、地点分布のデータには、いくつかのマップの出題地点を混ぜて使います。 #### 海ヘッジ 1：マレーシア編 — 半島側に置くべし。海ヘッジは損 マレーシアはざっくり、大陸側の**半島マレーシア** とボルネオ島の**東マレーシア** の 2 つの地域に分かれています。この2つのエリアで迷って、マレー沖にピンをヘッジしたことがある人もいるのではないでしょうか？ しかし、得点の期待値を計算してみると、 > 「ボルネオか本土かで迷って海にヘッジする」より、**バッサリ半島側に寄せて、その真ん中に刺した方が得** という結果になります。 マレーシアのヘッジ得点期待値。半島上の青い点が期待値最大 というのも、マレーシアの出題地点は、**本土側に地点が偏っており、ボルネオ側は少なめ** という構成のマップが多いです。その結果、 * 「半島マレーシア」の真ん中付近に置いたときの期待値が最大 * 「半島とボルネオの間の海あたり」に刺した場合： * 半島が当たりなら、それなりの距離を外してしまう * ボルネオが当たりならちょっとおいしいが、そもそもボルネオ地点の数が少ない * → トータルの期待値としては**半島側の真ん中に負ける** ボルネオ側にロマンを感じて海ヘッジしたくなりますが、**期待値的には半島全振りが合理的** です。 #### 海ヘッジ 2：インドネシア編 — 海ヘッジが強い 一方、インドネシアは事情がだいぶ違います。 多くの島を持つ国土ですが、**スマトラ** 、**ジャワ** 、**カリマンタン** 、**スラウェシ** など、GeoGuessrの地点も**島ごとにかなり分散して** 配置されているマップが多いです。 この場合、 > **「真ん中」あたりのジャワ海** に置くと、どの島が当たっても「そこそこ中距離の外し」にできる という状況になります。 実際に、インドネシアの地点リストで期待値ヒートマップを描くと、**ジャワ海あたり** に「期待値的に一番おいしいゾーン」が出てきます。要するに、インドネシアでは**海ヘッジがちゃんと合理的な戦略になりえます** 。 インドネシアのヘッジ得点期待値。ジャワ海上の青い点が期待値最大 マレーシアと見比べると、 > * マレーシア：本土に地点が偏っている → ボルネオ/海に寄せるのは損 > * インドネシア：島ごとに地点が分散 → 海ヘッジがむしろ最適寄り > という、同じ「海を挟んだ国」でもかなり違う性質が見えてきます。 ### まとめ：実戦でどう使うか ここまでの話をまとめると： * GeoGuessr のスコアは距離に応じて指数関数的に減る * **2択** ヘッジでは「中間」は常に損で、**確率が高い方に全振りが正解** * **3択以上** で、 * **近い範囲** に固まっているなら、**真ん中寄りが勝つ** こともある * 候補が**世界に散らばっている** ときは、**「一番ありそうなクラスターに寄せる」方が得** * 海ヘッジについては： * 地点が一方の地域に偏っているマップ（**マレーシア** など）では**海ヘッジは損** * 地点が島ごとに分散しているマップ（**インドネシア** など）では**海ヘッジが有力** あとは、自分のプレイスタイルに合わせて、 * 期待値最優先で攻めに行くか * あえてロマン込でちょっと損なヘッジを楽しむか を選ぶのが良いかなと思います。 ### 付録：得点期待値最大化のもう少しちゃんとした計算 ここからは少しだけ数式多めで、お気持ちの議論をします。 #### モデルのおさらい * 距離空間 \\( (M,d) \\) を考える。 * 正解の位置 \\( X \\) は候補点 \\( x_1,\dots,x_n\in M \\) のいずれかで、 \\( \mathbb{P}(X=x_i)=p_i \\)、ここで\\( \sum p_i=1 \\)。 * ピンを置いた位置を \\( g\in M \\) とする。 * 距離 \\( d(g,x) \\) に対して、得点を \\( S(g,x) = 5000 e^{-K d(g,x)},\quad K>0 \\) で定める。 このとき得点の期待値は $$ \mathbb{E}[S(g,X)] = 5000 \sum_{i=1}^n p_i e^{-K d(g,x_i)}. $$ > 「期待値最大化問題」は > > $$ \max_{g\in M}; F(g),\quad F(g):=\sum_{i=1}^n p_i e^{-K d(g,x_i)} $$ > > を解くことになる。 #### 候補が2択だけのとき：端点が必ず最適 候補が A,B の2択のみで、それぞれの確率を \\( p \\) と \\( 1-p \\) とする。 * A,B 間の最短経路を弧長パラメータ \\( t\in[0,D] \\) で書いて \\( \gamma(0)=A,\ \gamma(D)=B \\) * クリック位置 \\( g=\gamma(t) \\) に対して $$ d(g,A)=t,\quad d(g,B)=D-t $$ すると、得点期待値（以下、5000 は定数なので省く）は $$ f(t) = p e^{-Kt} + (1-p) e^{-K(D-t)}. $$ これを \\( d \\) に関する1変数関数として見る。 ##### 凸性の計算 $$ \begin{aligned} f'(t) &= -Kp e^{-Kt} + K(1-p) e^{-K(D-t)},\\\ f''(t) &= K^2\left(p e^{-Kt} + (1-p) e^{-K(D-t)}\right) > 0. \end{aligned} $$ したがって \\( f \\) は区間 \\( [0,D] \\) 上で**厳密に凸** 。 凸関数の性質として、区間上の凸関数の最大値は端点でとる。よって、 > **命題 1（2択ヘッジ）** 2点 A,B のみが候補のとき、 期待スコアを最大にする点は必ず A か B のどちらかであり、 A–B の「中間」に置くのが最適になることはない。 どちらの端点が良いかを比べるには、 $$ f(0)=p+(1-p)e^{-KD},\quad f(D)=pe^{-KD}+(1-p) $$ を比較すればよい。差は $$ f(0)-f(D) = (2p-1)(1-e^{-KD}). $$ * \\( D>0\Rightarrow 1-e^{-KD}>0 \\) * よって \\( p>1/2 \\) なら A が最適、\\( p<1/2 \\) なら B が最適、\\( p=1/2 \\) ならどちらでも同じ。 #### 3点以上で、かつ「互いに近い」場合：geometric medianに近づく 今度は候補が \\( n\ge 3 \\) 点、全部近くに固まっている状況を考える。 簡単のため * 空間は \\( \mathbb{R}^2 \\)（ユークリッド平面） * 確率は等しい \\( p_i=1/n \\) * 全ての候補が半径 \\( R \\) 程度の円盤内にあり、\\( KR\ll 1 \\)（距離スケールが小さい） とする。 ##### 指数関数を一次まで展開する 距離 \\( d(g,x_i) \\) が十分に小さいときは $$ e^{-K d(g,x_i)} = 1 - K d(g,x_i) + O( (Kd)^2) $$ とテイラー展開できる。これを期待値に代入すると、 $$ \begin{aligned} \mathbb{E}[S(g,X)] &\approx \frac{5000}{n}\sum_{i=1}^n (1 - K d(g,x_i))\\\ &= 5000\left( 1 - K\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d(g,x_i) \right) + O(K^2R^2). \end{aligned} $$ 定数項と係数は最適化には関係ないので、一次近似レベルでは > **期待スコア最大化** \\( \Leftrightarrow \\) **平均距離** > > $$ \Phi(g) := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d(g,x_i) $$ > > を最小化する問題 したがって、GeoGuessr のスコアは指数関数だが、候補点が比較的近い範囲にある場合、指数を一次近似すると **“距離の和を最小化する点” (geometric median)** が最適ヘッジ地点の近似になる。 ##### 3点の場合とフェルマー点 特に \\( n=3 \\) のとき、三角形 \\( \triangle x_1x_2x_3 \\) の * 全ての角が \\( 120^\circ \\) 未満：各頂点からの距離和 \\( \sum|g-x_i| \\) を最小化する、三角形内部の一点（**フェルマー点**）が存在する * どこかの角が \\( 120^\circ \\) 以上：その鈍角頂点が各頂点からの距離和最小 になることが知られている。 小距離・小 \\( K \\) の近似のもとでは、 * 前者のケースでは → 期待値最大の点は 3 頂点の真上ではなく三角形内部（フェルマー点付近） * 後者のケースでは → 期待値最大の点は鈍角頂点の真上 になる、という対応になる。 #### 付録まとめ * 2択ヘッジ * → 凸性から「必ず端点が最適」 * 3点以上・近距離 * → 線形近似で「距離の和の最小化」に帰着 * → geometric median（3点ならフェルマー点 or 鈍角頂点） * 3点以上・一般配置 * → geometric median問題＋指数重み付き * → 解析的解法は基本あきらめて数値最適化 本文で出てきた実戦ルールは、このあたりの性質をざっくり噛み砕いたもの、という位置づけになる。

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世界のどこかに落とされ、パノラマ画面から標識、看板、自然環境など、あらゆる手がかりをもとに世界地図のなかで自分の位置を推測する地理ゲーム