論文の内容はあまり良くない(修論のﾁｮｯﾄ一般化した設定を修論でやったような方法でやるだけ+5秒でわかるけど事実としては面白い補足)

Bott-Tuは多様体論を知らないと読めないですが、Tu多様体は(そもそも多様体論の本なので)あんまり知識いらないと思います(de Rhamの章を読むにはある程度それまでの章の内容をわかっている必要があると思いますが、一旦de Rhamの章見てみて、わからなくなったら少し遡るとかで良いような気がします)

元々ファイバーにベクトル空間の構造が入っている(つまりスカラー倍が入っている)のが定義で、それを自明化を通じてa*(x,v)=(x,av)という表示ができるということです！(自明化は定義から、ファイバー上でベクトル空間の同型を与えるので)

特異(コ)ホモロジーの入門書だと河澄先生のトポロジーの基礎がいい気がします。学部生の輪読のチューターをしていたときにこの本を読んでもらっていたのですが、よかった気がします。(たぶん坪井先生の2巻目より易しいです)

またde Rhamコホモロジーの触りだとTu多様体が良いですし、もっと先の話ならBott-Tuが良いと思います。

ファイバーがベクトル空間になればいいので、スカラーがφ^-1({x}×R)みたいな所から来る必要はないです！単に
R × π^{-1}(x) → π^{-1}(x)
a*(x,v)=(x,av)
というスカラー倍の写像が定まればいいです！

ファイバーがベクトル空間になるのは定義で、U×R^rへの微分同相は各ファイバー上でベクトル空間の同型を与えるという定義です。このファイバーごとの同型を与える微分同相が意味しているのは、ファイバーπ^{-1}(x)での和やスカラー倍は、(この同相を通じて){x}×R^rでの通常の和やスカラー倍であるということです。